통계학을 공부하다 보면 각종 확률분포함수(Probability Distribution Function)를 접하게 되는데 왜 이렇게 생긴 함수를 사용하는지 이해를 제대로 하지 못하고 사용하는 경우가 많이 있습니다. 통계를 잘 다루기 위해서는 각종 확률분포의 의미를 정확히 이해하는 것이 매우 중요합니다. 여기서는 각종 확률분포함수의 의미를 살펴보고 유도를 해 보도록 하겠습니다.

이해가 잘 되지 않는 확률분포함수가 있을 때 이 글을 읽어보면 이해하는데 도움을 줄 수 있을 것으로 생각합니다.

Rademacher Distribution

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−1 이 나올 확률이 1/2 이고 +1 이 나올 확률이 1/2 입니다.

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PX(x)={12 if x=−112 if x=+10 otherwise P_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2} & \text { if } x=-1 \\\frac{1}{2} & \text { if } x=+1 \\0 & \text { otherwise }\end{array}\right.PX​(x)=⎩⎨⎧​21​21​0​ if x=−1 if x=+1 otherwise ​

Bernoulli Distribution

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1이 나올 확률이 ppp이고 0이 나올 확률이 1−p1-p1−p입니다.

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X∼ Bernoulli (p)X \sim \text { Bernoulli }(p)X∼ Bernoulli (p)

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PX(x)={  if x=11−p if x=00 otherwise P_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} & \text { if } x=1 \\1-p & \text { if } x=0 \\0 & \text { otherwise }\end{array}\right.PX​(x)=⎩⎨⎧​ 1−p0​ if x=1 if x=0 otherwise ​

Geometric Distribution

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 Bernoulli (p)\text { Bernoulli }(p) Bernoulli (p) 시도를 xxx번 할 때 x−1x - 1x−1번 나오고 1이 xxx번째에 나올 확률입니다.

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X∼Geometric⁡(p)X \sim \operatorname{Geometric}(p)X∼Geometric(p)

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PX(x)={1, if x=1,2,3,⋯0 otherwise P_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { if } x=1,2,3, \cdots \\0 & \text { otherwise }\end{array}\right.PX​(x)={1,0​ if x=1,2,3,⋯ otherwise ​

Pascal Distribution

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Negative Binomial Distribution이라고도 부릅니다.

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Pascal Distribution은 사용하는 사람마다 조금씩 다른 의미로 정의하는 경우가 많아서 주의가 필요합니다.

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Geometric Distribution의 일반형입니다.

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 Bernoulli (p)\text { Bernoulli }(p) Bernoulli (p) 시도를 xxx번 할 때 x−1x - 1x−1번 시도할 때까지 m−1m-1m−1번 1이 나오고 xxx번째 시도에서 mmm번째 1이 나올 확률입니다.

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X∼Pascal⁡(m,p)X \sim \operatorname{Pascal}(m, p)X∼Pascal(m,p)

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PX(x)={(x−1m−1)pm(1−p)x−m if x=m,m+1,m+2,⋯0 otherwise P_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\binom{x-1}{m-1} p^{m}(1-p)^{x-m} & \text { if } x=m, m+1, m+2, \cdots \\0 & \text { otherwise }\end{array}\right.PX​(x)={(m−1x−1​)pm(1−p)x−m0​ if x=m,m+1,m+2,⋯ otherwise ​

Binomial Distribution

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Bernoulli(p)Bernoulli(p)Bernoulli(p) 시도를 nnn 번 할 때 그중에 111 이 xxx 번 나올 확률입니다.

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X∼Binomial(n,p)X \sim Binomial(n,p)X∼Binomial(n,p)

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PX(x)={(nx)px(1−p)n−x if x=0,1,2,⋯ ,n0 otherwise \begin{array}{c} P_X(x)=\begin{cases}\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} & \text{ if } x = 0, 1, 2, \cdots, n \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{array}PX​(x)={(xn​)px(1−p)n−x0​ if x=0,1,2,⋯,n otherwise ​​

Multinomial Distribution

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Binomial Distribution의 일반형입니다.

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kkk 가지의 다른 색을 가지고 있는 공이 주머니에 있을 때 111 번 색 공을 x1x_1x1​ 개 뽑고, 222 번 색 공을 x2x_2x2​ 개 뽑고, …, kkk 번 색 공을 xkx_kxk​ 개 뽑을 확률입니다. 여기서 iii 번 색 공이 뽑힐 확률은 pip_ipi​ 이고, 총 뽑는 공의 갯수는 nnn 개 이며, 공은 하나 뽑아서 색을 확인한 후 다시 주머니에 넣습니다.

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(X1,X2,⋯ ,Xk)∼Multinomial(n,p1,p2,⋯ ,pk)(X_1, X_2, \cdots, X_k) \sim Multinomial(n, p_1, p_2, \cdots, p_k)(X1​,X2​,⋯,Xk​)∼Multinomial(n,p1​,p2​,⋯,pk​)

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PX1,X2,⋯ ,Xk(x1,x2,⋯ ,xk)={n!x1!x2!⋯xk!p1x1p2x2⋯pkxk if ∑i=1kxi=n0 otherwise \begin{array}{c} P_{X_1, X_2, \cdots, X_k}(x_1, x_2, \cdots, x_k) =\begin{cases}\frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!}p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} & \text{ if } \sum_{i=1}^kx_i=n \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{array}PX1​,X2​,⋯,Xk​​(x1​,x2​,⋯,xk​)={x1​!x2​!⋯xk​!n!​p1x1​​p2x2​​⋯pkxk​​0​ if ∑i=1k​xi​=n otherwise ​​

Hypergeometric Distribution

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bbb 개의 파란 공과 rrr 개의 빨간 공이 주머니에 있을 때 kkk 개의 공을 뽑았을 때 xxx 개의 파란 공을 뽑을 확률입니다.

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X∼Hypergeometric(b,r,k)X \sim Hypergeometric(b,r,k)X∼Hypergeometric(b,r,k)

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PX(x)={(bx)(rk−x)(b+rk) if max⁡(0,k−r)≤x≤min⁡(k,b)0 otherwise \begin{array}{c} P_X(x)=\begin{cases}\frac{\binom{b}{x}\binom{r}{k-x}}{\binom{b+r}{k}} & \text{ if } \max(0, k-r) \leq x \leq \min(k, b) \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{array}PX​(x)=⎩⎨⎧​(kb+r​)(xb​)(k−xr​)​0​ if max(0,k−r)≤x≤min(k,b) otherwise ​​

Poisson Distribution

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한 달에 λ\lambdaλ 번의 고장이 평균적으로 발생하는 기계가 한 달 동안에 xxx 번의 고장이 발생할 확률입니다.

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X∼Poisson(λ)X \sim Poisson(\lambda)X∼Poisson(λ)

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PX(x)={e−λλxx! if x=0,1,2,⋯0 otherwise \begin{array}{c} P_X(x)=\begin{cases}\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} & \text{ if } x=0,1,2,\cdots \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{array}PX​(x)={x!e−λλx​0​ if x=0,1,2,⋯ otherwise ​​

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한 달을 nnn 개의 구간으로 나누면 한 구간에 고장이 발생할 확률은 λn\frac{\lambda}{n}nλ​ 이 됩니다. X∼Binomial(n,λn)X \sim Binomial(n, \frac{\lambda}{n})X∼Binomial(n,nλ​) 에서 n→∞n \to \inftyn→∞ 가 되면 X∼Poisson(λ)X \sim Poisson(\lambda)X∼Poisson(λ) 이 됩니다.

\begin{aligned}P_X(x)&=\lim_{n \to \infty}\binom{n}{x}(\frac{\lambda}{n})^x(1-\frac{\lambda}{n})^{n-x} \\&=\lambda^x\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{x!(n-x)!}(\frac{1}{n^x})(1-\frac{\lambda}{n})^n(1-\frac{\lambda}{n})^{-x} \\&=\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^x}(1+(-\frac{\lambda}{n}))^{(-\frac{n}{\lambda})(-\lambda)}(1-\frac{\lambda}{n})^{-x} \\&=\frac{\lambda^x}{x!} 1 \cdot e^{-\lambda} \cdot 1 \\&=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\end{aligned}

Uniform Distribution

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aaa 와 bbb 사이의 값이 균일한 확률로 xxx 가 뽑힙니다.

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X∼Uniform(a,b)X \sim Uniform(a,b)X∼Uniform(a,b)

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fX(x)={1b−a if a<x<b0 otherwise \begin{array}{c} f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text{ if } a \lt x \lt b \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{array}fX​(x)={b−a1​0​ if a<x<b otherwise ​​

Exponential Distribution

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한 달에 λ\lambdaλ 번의 고장이 평균적으로 발생하는 기계가 xxx 달 동안 기계가 고장이 나지 않았다가 xxx 달 만에 기계가 고장이 날 확률밀도입니다.

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X∼Exponential(λ)X \sim Exponential(\lambda)X∼Exponential(λ)

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fX(x)={λe−λx if x≥00 if x<0\begin{array}{c} f_X(x) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & \text{ if } x \geq 0 \\0 & \text{ if } x \lt 0\end{cases} \end{array}fX​(x)={λe−λx0​ if x≥0 if x<0​​

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xxx 달 동안 기계가 고장이 나지 않을 확률은 Poisson Distribution을 이용해 계산해 보면 다음과 같습니다. e−λx(λx)00!=e−λx\frac{e^{-\lambda x}(\lambda x)^0}{0!}=e^{-\lambda x}0!e−λx(λx)0​=e−λx

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xxx 달 동안 기계가 고장이 나지 않았다가 xxx 달 이후에 기계가 고장이 날 확률은 다음과 같습니다. FX(x)=1−e−λxF_X(x)=1-e^{-\lambda x}FX​(x)=1−e−λx

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xxx 달 동안 기계가 고장이 나지 않았다가 xxx 달 만에 기계가 고장이 날 확률밀도는 다음과 같습니다. fX(x)=λe−λxf_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}fX​(x)=λe−λx

Laplace Distribution

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Double Exponential Distribution이라고도 부릅니다. 한 달에 λ\lambdaλ 번의 고장이 평균적으로 발생하는 기계가 두 대 있을 때 첫 번째 기계가 고장나는데 걸리는 시간은 X1∼Exponential(λ)X_1 \sim Exponential(\lambda)X1​∼Exponential(λ) 달이고, 두 번째 기계가 고장나는데 걸리는 시간은 X2∼Exponential(λ)X_2 \sim Exponential(\lambda)X2​∼Exponential(λ) 달일 때, 두 기계가 고장나는데 걸리는 시간의 차는 Y=X1−X2∼Laplace(0,1λ)Y = X_1 - X_2 \sim Laplace(0, \frac{1}{\lambda})Y=X1​−X2​∼Laplace(0,λ1​) 가 됩니다.

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X∼Laplace(μ,b)X \sim Laplace(\mu, b)X∼Laplace(μ,b)

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fX(x)=12bexp⁡(−∣x−μ∣b)f_X(x)=\frac{1}{2b}\exp(-\frac{\left | x - \mu \right |}{b})fX​(x)=2b1​exp(−b∣x−μ∣​)

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X1X_1X1​ 과 X2X_2X2​ 가 independent, X1∼Exponential(λ)X_1 \sim Exponential(\lambda)X1​∼Exponential(λ), X2∼Exponential(λ)X_2 \sim Exponential(\lambda)X2​∼Exponential(λ) 이면 Y=X1−X2∼Laplace(0,1λ)Y=X_1-X_2 \sim Laplace(0, \frac{1}{\lambda})Y=X1​−X2​∼Laplace(0,λ1​) 임은 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned} f_{X_1}(x_1)&=\lambda e^{-\lambda x_1} \\f_{X_2}(x_2)&=\lambda e^{-\lambda x_2} \\f_{X_1 X_2}(x_1, x_2)&=\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \\\text{if } y \le 0 \\F_Y(y)&=P(Y \le y) \\&=P(X_1-X_2 \le y) \\&=P(X_2 \ge X_1-y) \\&=\int_0^\infty\int_{x_1-y}^\infty f_{X_1 X_2}(x_1,x_2)dx_2 dx_1 \\&=\int_0^\infty\int_{x_1-y}^\infty \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}dx_2 dx_1 \\&=\int_0^\infty \left [ \lambda^2 e^{-\lambda x_1}(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x_2}) \right ]_{x_1-y}^\infty dx_1 \\&=\int_0^\infty \lambda e^{\lambda y}e^{-2\lambda x_1}dx_1 \\&=\left [ \lambda e^{\lambda y}(-\frac{1}{2\lambda}e^{-2\lambda x_1}) \right ]_0^\infty \\&=\lambda e^{\lambda y} \frac{1}{2 \lambda} \\&=\frac{1}{2}e^{\lambda y} \\f_Y(y)&=\frac{1}{2}\lambda e^{\lambda y} \hspace{2em}(y \le 0) \\\text{if } y > 0 \\F_Y(y)&=P(Y \le y) \\&=1-P(Y>y) \\&=1-P(X_1-X_2>y) \\&=1-P(X_2<X_1-y) \\&=1-\int_y^\infty\int_0^{x_1-y} f_{X_1 X_2}(x_1,x_2)dx_2 dx_1 \\&=1-\int_y^\infty\int_0^{x_1-y} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}dx_2 dx_1 \\&=1-\int_y^\infty \left [ \lambda^2 e^{-\lambda x_1}(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x_2}) \right ]_0^{x_1-y} dx_1 \\&=1-\int_y^\infty(-\lambda e^{\lambda y}e^{-2\lambda x_1}+\lambda e^{-\lambda x_1})dx_1 \\&=1-\left [ -\lambda e^{\lambda y}\frac{1}{-2 \lambda}e^{-2\lambda x_1}+\lambda\frac{1}{-\lambda}e^{-\lambda x_1}\right ]_y^\infty \\&=1-\frac{1}{2}e^{-\lambda y} \\f_Y(y)&=\frac{1}{2}\lambda e^{-\lambda y} \hspace{2em}(y > 0) \\f_Y(y)&=\frac{1}{2}\lambda e^{-\lambda \left | y \right |} \end{aligned}

Gamma Distribution

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α\alphaα 가 양의 정수인 경우 Erlang Distribution이라고도 부릅니다.

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Chi-squared Distribution, Exponential Distribution의 일반형입니다.

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한 달에 λ\lambdaλ 번의 고장이 평균적으로 발생하는 기계가 xxx 달 동안 기계가 α−1\alpha-1α−1 번 고장이 나고 xxx 달 만에 기계가 α\alphaα 번째 고장이 날 확률밀도입니다.

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X∼Gamma(α,λ)X \sim Gamma(\alpha, \lambda)X∼Gamma(α,λ)

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Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdxfX(x)={λαxα−1e−λxΓ(α) if x>00 otherwise \begin{aligned} \Gamma(\alpha)&=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx \\f_X(x)&=\begin{cases}\frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} & \text{ if } x \gt 0 \\0 & \text{ otherwise }\end{cases} \end{aligned}Γ(α)fX​(x)​=∫0∞​xα−1e−xdx={Γ(α)λαxα−1e−λx​0​ if x>0 otherwise ​​

•

XiX_iXi​ 는 iid, Xi∼Exponential(λ)X_i \sim Exponential(\lambda)Xi​∼Exponential(λ) 일 때 Yα=∑i=1αXi∼Gamma(α,λ)Y_\alpha = \sum_{i=1}^{\alpha}X_i \sim Gamma(\alpha, \lambda)Yα​=∑i=1α​Xi​∼Gamma(α,λ) 가 됨을 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned}M_{X_i}(s)&=E(e^{sX_i})\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}e^{sx}dx \\&=\int_0^\infty \lambda e^{-(\lambda-s)x}dx \\&=\left[ -\frac{\lambda}{\lambda-s}e^{-(\lambda-s)x} \right]_0^\infty \\&=\frac{\lambda}{\lambda-s} \\M_{Y_\alpha}(s)&=(M_{X_i}(s))^\alpha \\&=(\frac{\lambda}{\lambda-s})^\alpha \\\int_0^\infty f_{Y_\alpha}(x)e^{sx}dx&=\int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}e^{sx}}{\Gamma(\alpha)}dx \\&=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-(\lambda-s)x}dx \\&=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-tx}dx & \text{ } (t=\lambda-s) \\&=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\frac{\Gamma(\alpha)}{t^\alpha} & \text{ } (\frac{\Gamma(\alpha)}{t^\alpha}=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-tx}dx) \\&=(\frac{\lambda}{t})^\alpha \\&=(\frac{\lambda}{\lambda-s})^\alpha \\&=M_{Y_\alpha}(s)\end{aligned}

Beta Distribution

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은행에 가서 일을 처리하고 우체국에 가서 일을 처리할 때, 은행에서 앞에 기다리는 사람이 aaa 명이고 우체국에서 앞에 기다리는 사람이 bbb 명일 때 은행과 우체국에서 111 시간당 평균 λ\lambdaλ 명을 처리하는 경우 은행에서 기다리는 시간은 X∼Gamma(a,λ)X \sim Gamma(a, \lambda)X∼Gamma(a,λ) 이고 우체국에서 기다리는 시간은 Y∼Gamma(b,λ)Y \sim Gamma(b, \lambda)Y∼Gamma(b,λ) 이 됩니다. 이때 총 기다린 시간은 T=X+YT=X+YT=X+Y 가 되며 총 기다린 시간과 은행에서 기다린 시간의 비율은 W=XX+YW=\frac{X}{X+Y}W=X+YX​ 가 됩니다. 이때 T∼Gamma(a+b,λ)T \sim Gamma(a+b, \lambda)T∼Gamma(a+b,λ) 이고 W∼Beta(a,b)W \sim Beta(a, b)W∼Beta(a,b) 가 됩니다.

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X∼Beta(a,b)X \sim Beta(a, b)X∼Beta(a,b)

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β(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)fX(x)=xa−1(1−x)b−1β(a,b)\begin{array}{c} \beta(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \\f_X(x)=\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\beta(a,b)} \end{array}β(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)​fX​(x)=β(a,b)xa−1(1−x)b−1​​

•

X∼Gamma(a,λ)X \sim Gamma(a, \lambda)X∼Gamma(a,λ) 이고 Y∼Gamma(b,λ)Y \sim Gamma(b, \lambda)Y∼Gamma(b,λ) 일 때 T=X+YT=X+YT=X+Y 과 W=XX+YW=\frac{X}{X+Y}W=X+YX​ 의 Joint Distribution을 계산하여 W∼Beta(a,b)W \sim Beta(a, b)W∼Beta(a,b) 임을 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned} t&=x+y \\w&=\frac{x}{x+y} \\h_1(t,w)&=x=tw \\h_2(t,w)&=y=t(1-w) \\J&=\det\begin{bmatrix}\frac{\partial h_1}{\partial t} & \frac{\partial h_1}{\partial w} \\\frac{\partial h_2}{\partial t} & \frac{\partial h_2}{\partial w}\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}w & t \\1-w & -t\end{bmatrix}=t \\f_{TW}(t,w)&=f_{XY}(h_1(t,w),h_2(t,w)) \left | J \right | \\&=f_X(x)f_Y(y)t \\&=\frac{\lambda^a x^{a-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(a)}\frac{\lambda^b y^{b-1}e^{-\lambda y}}{\Gamma(b)}t \\&=\frac{\lambda^a (tw)^{a-1}e^{-\lambda tw}}{\Gamma(a)}\frac{\lambda^b (t(1-w))^{b-1}e^{-\lambda t(1-w)}}{\Gamma(b)}t \\&=\frac{w^{a-1}(1-w)^{b-1}\lambda^{a+b}t^{a+b-1}e^{-\lambda t}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \\&=(\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}w^{a-1}(1-w)^{b-1})(\frac{1}{\Gamma(a+b)}\lambda^{a+b}t^{a+b-1}e^{-\lambda t}) \\&=f_W(w)f_T(t) \\T &\sim Gamma(a+b, \lambda) \\W &\sim Beta(a, b) \end{aligned}

Dirichlet Distribution

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Multivariate Beta Distribution이라고도 부릅니다.

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Beta Distribution의 일반형입니다.

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kkk 가지의 장소에 가서 각각 일을 처리할 때 111 번 장소에서 α1\alpha_1α1​ 명이 앞에서 기다리고 있고, 222 번 장소에서 α2\alpha_2α2​ 명이 앞에서 기다리고 있고, …, kkk 번 장소에서 αk\alpha_kαk​ 명이 앞에서 기다리고 있을 때 각각의 장소에서 111 시간당 평균 λ\lambdaλ 명을 처리하는 경우 111 번 장소에서 기다리는 시간은 X1∼Gamma(α1,λ)X_1 \sim Gamma(\alpha_1, \lambda)X1​∼Gamma(α1​,λ) 이고, 222 번 장소에서 기다리는 시간은 X2∼Gamma(α2,λ)X_2 \sim Gamma(\alpha_2, \lambda)X2​∼Gamma(α2​,λ) 이고, …, kkk 번 장소에서 기다리는 시간은 Xk∼Gamma(αk,λ)X_k \sim Gamma(\alpha_k, \lambda)Xk​∼Gamma(αk​,λ) 이 됩니다. 이때 총 기다린 시간과 111 번 장소에서 기다린 시간의 비율은 Y1=X1∑i=1kXiY_1=\frac{X_1}{\sum_{i=1}^k X_i}Y1​=∑i=1k​Xi​X1​​ 이 되며, 총 기다린 시간과 222 번 장소에서 기다린 시간의 비율은 Y2=X2∑i=1kXiY_2=\frac{X_2}{\sum_{i=1}^k X_i}Y2​=∑i=1k​Xi​X2​​ 이 되며, …, 총 기다린 시간과 kkk 번 장소에서 기다린 시간의 비율은 Yk=Xk∑i=1kXiY_k=\frac{X_k}{\sum_{i=1}^k X_i}Yk​=∑i=1k​Xi​Xk​​ 이 되며, (Y1,Y2,⋯ ,Yk)∼Dirichlet(α1,α2,⋯ ,αk)(Y_1, Y_2, \cdots, Y_k) \sim Dirichlet(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)(Y1​,Y2​,⋯,Yk​)∼Dirichlet(α1​,α2​,⋯,αk​) 가 됩니다.

•

(X1,X2,⋯ ,Xk)∼Dirichlet(α1,α2,⋯ ,αk)(X_1, X_2, \cdots, X_k) \sim Dirichlet(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)(X1​,X2​,⋯,Xk​)∼Dirichlet(α1​,α2​,⋯,αk​)

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fX1X2⋯Xk(x1,x2,⋯ ,xk)=Γ(∑i=1kαi)∏i=1kxiαi−1∏i=1kΓ(αi)f_{X_1 X_2 \cdots X_k}(x_1, x_2, \cdots, x_k)=\frac{\Gamma(\sum_{i=1}^k \alpha_i)\prod_{i=1}^k x_i^{\alpha_i-1}}{\prod_{i=1}^k\Gamma(\alpha_i)}fX1​X2​⋯Xk​​(x1​,x2​,⋯,xk​)=∏i=1k​Γ(αi​)Γ(∑i=1k​αi​)∏i=1k​xiαi​−1​​

Normal Distribution

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Gaussian Distribution이라고도 부릅니다.

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XiX_iXi​ 가 iid, E(Xi)=μE(X_i)=\muE(Xi​)=μ , Var(Xi)=σ2Var(X_i)=\sigma^2Var(Xi​)=σ2 , Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_iXˉ=n1​∑i=1n​Xi​ 라고 하면, E(Xˉ)=μE(\bar{X})=\muE(Xˉ)=μ , Var(Xˉ)=σ2nVar(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}Var(Xˉ)=nσ2​ 이 된다. Z=Xˉ−μσnZ=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}Z=n​σ​Xˉ−μ​ 가 n→∞n \to \inftyn→∞ 일 때, Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)Z∼N(0,1) 이 됩니다.

•

XiX_iXi​ 가 E(Xi)E(X_i)E(Xi​) , Var(Xi)Var(X_i)Var(Xi​) 가 존재하는 경우 nnn 이 클 때 ZZZ 가 Normal Distribution을 따릅니다. Poisson(n)Poisson(n)Poisson(n) 은 Poisson(1)Poisson(1)Poisson(1) 의 합으로 나타낼 수 있고, Gamma(n,λ)Gamma(n,\lambda)Gamma(n,λ) 는 Exponential(λ)Exponential(\lambda)Exponential(λ) 의 합으로 나타낼 수 있으며, Binomial(n,p)Binomial(n,p)Binomial(n,p) 는 Bernoulli(p)Bernoulli(p)Bernoulli(p) 의 합으로 나타낼 수 있기 때문에, n→∞n \to \inftyn→∞ 이면 Poisson(n)Poisson(n)Poisson(n) , Gamma(n,λ)Gamma(n,\lambda)Gamma(n,λ) , Binomial(n,p)Binomial(n,p)Binomial(n,p) 가 Normal Distribution을 따릅니다. 이런 특성으로 인해 주변에서 Normal Distribution이 빈번하게 관측됩니다.

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X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)

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fX(x)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2)f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})fX​(x)=σ2π​1​exp(−2σ2(x−μ)2​)

•

Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)Z∼N(0,1) , XiX_iXi​ 가 iid, E(Xi)=0E(X_i)=0E(Xi​)=0 , Var(Xi)=1Var(X_i)=1Var(Xi​)=1 , Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_iXˉ=n1​∑i=1n​Xi​ , n→∞n \to \inftyn→∞ 일 때 nXˉ∼N(0,1)\sqrt{n}\bar{X} \sim N(0, 1)n​Xˉ∼N(0,1) 임을 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}f_Z(x)dx&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\&=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\&=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}\exp(-t)\frac{1}{\sqrt{2t}}dt & \text{ } (t=\frac{x^2}{2}) \\&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}\exp(-t)dt \\&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\frac{1}{2}) \\&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi} & \text{ } (\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt \pi)\\&=1\end{aligned} \\\begin{aligned}M_Z(s)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_Z(x)\exp(sx)dx \\&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})\exp(sx)dx \\&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2-2sx+s^2-s^2}{2})dx \\&=\exp(\frac{s^2}{2})\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-s)^2}{2})dx \\&=\exp(\frac{s^2}{2})\end{aligned} \\M_{X_i}(s)=E(\exp(sX_i)) \\M_{X_i}(0)=1 \\M_{X_i}'(0)=0 \\M_{X_i}''(0)=1 \\\begin{aligned}M_{\sqrt n\bar{X}}(s)&=E(\exp(s\sqrt n \bar{X})) \\&=E(\exp(s\sqrt n \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n})) \\&=E(\exp(s\frac{X_1}{\sqrt n}))E(\exp(s\frac{X_2}{\sqrt n}))\cdots E(\exp(s\frac{X_n}{\sqrt n})) \\&=(E(\exp(s\frac{X_i}{\sqrt n})))^n \\&=(M_{X_i}(\frac{s}{\sqrt n}))^n\end{aligned} \\\begin{aligned}\lim_{n \to \infty}\ln(M_{\sqrt n\bar{X}}(s))&=\lim_{n \to \infty}\ln(M_{X_i}(\frac{s}{\sqrt n}))^n \\&=\lim_{n \to \infty}n\ln(M_{X_i}(\frac{s}{\sqrt n})) \\&=\lim_{y \to 0}\frac{\ln(M_{X_i}(sy))}{y^2} & \text{ } (y=\frac{1}{\sqrt n}) \\&=\lim_{y \to 0}\frac{\frac{1}{M_{X_i}(sy)}M_{X_i}'(sy)s}{2y} & \text{ }(\text{L'Hopital's rule}) \\&=\lim_{y \to 0}\frac{M'_{X_i}(sy)s}{2y} & \text{ } (M_{X_i}(0)=1) \\&=\lim_{y \to 0}\frac{M''_{X_i}(sy)ss}{2} & \text{ } (\text{L'Hopital's rule}) \\&=\frac{s^2}{2} & \text{ } (M_{X_i}''(0)=1)\end{aligned} \\M_{\sqrt n\bar{X}}(s)=\exp(\frac{s^2}{2}) \\M_Z(s)=M_{\sqrt n\bar{X}}(s) \\\sqrt n\bar{X} \sim N(0,1)

Chi-squared Distribution

•

XiX_iXi​ 가 iid, Xi∼N(0,1)X_i \sim N(0, 1)Xi​∼N(0,1) , Y=∑i=1nXi2Y=\sum_{i=1}^{n}X_i^2Y=∑i=1n​Xi2​ 이면 Y∼χn2Y \sim \chi_n^2Y∼χn2​ 이 됩니다. nnn 은 degree of freedom이라고 부릅니다.

•

X∼χn2X \sim \chi_n^2X∼χn2​

•

fX(x)=(12)n2xn2−1e−x2Γ(n2)f_X(x)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}fX​(x)=Γ(2n​)(21​)2n​x2n​−1e−2x​​

•

Xi∼N(0,1)X_i \sim N(0,1)Xi​∼N(0,1) 이면 Y∼Gamma(12,12)Y \sim Gamma(\frac{1}{2},\frac{1}{2})Y∼Gamma(21​,21​) 임을 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned} f_Y(y)&=2f_X(g^{-1}(y))\left | \frac{dg^{-1}(y)}{dy} \right | \\g^{-1}(y)&=\sqrt y \\\frac{dg^{-1}(y)}{dy}&=\frac{1}{2\sqrt y} \\f_Y(y)&=2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y}{2}}\frac{1}{2\sqrt y} \\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac{y}{2}} \\&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{2})} \\Y &\sim Gamma(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{aligned}

•

XiX_iXi​ 가 iid, Xi∼N(0,1)X_i \sim N(0, 1)Xi​∼N(0,1) 이면 Xi2∼Gamma(12,12)X_i^2 \sim Gamma(\frac{1}{2},\frac{1}{2})Xi2​∼Gamma(21​,21​) 이 되고, Y=∑i=1nXi2Y=\sum_{i=1}^n X_i^2Y=∑i=1n​Xi2​ 이면 Y∼Gamma(n2,12)Y \sim Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})Y∼Gamma(2n​,21​) 가 되고, Y∼χn2Y \sim \chi_n^2Y∼χn2​ 이 됩니다.

Cauchy Distribution

•

Lorentz Distribution이라고도 부릅니다.

•

X1X_1X1​ 과 X2X_2X2​ 가 independent이고, X1∼N(0,1)X_1 \sim N(0,1)X1​∼N(0,1) , X2∼N(0,1)X_2 \sim N(0,1)X2​∼N(0,1) 일 때 Y=X1X2Y=\frac{X_1}{X_2}Y=X2​X1​​ 라면 Y∼Cauchy(0,1)Y \sim Cauchy(0,1)Y∼Cauchy(0,1) 이 됩니다.

•

E(Y)E(Y)E(Y) , Var(Y)Var(Y)Var(Y) 가 존재하지 않습니다.

•

X∼Cauchy(μ,σ)X \sim Cauchy(\mu,\sigma)X∼Cauchy(μ,σ)

•

fX(x)=1πσ(1+(x−μσ)2)f_X(x)=\frac{1}{\pi \sigma(1+(\frac{x-\mu}{\sigma})^2)}fX​(x)=πσ(1+(σx−μ​)2)1​

•

X1X_1X1​ 과 X2X_2X2​ 가 independent이고, X1∼N(0,1)X_1 \sim N(0,1)X1​∼N(0,1) , X2∼N(0,1)X_2 \sim N(0,1)X2​∼N(0,1) 일 때 Y=X1X2Y=\frac{X_1}{X_2}Y=X2​X1​​ 라면 Y∼Cauchy(0,1)Y \sim Cauchy(0,1)Y∼Cauchy(0,1) 이 됨은 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned} f_{X_1}(x_1)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x_1^2}{2}) \\f_{X_2}(x_2)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x_2^2}{2}) \\f_{X_1 X_2}(x_1,x_2)&=\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2}) \\y_1&=g_1(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_2} \\y_2&=g_2(x_1,x_2)=x_2 \\x_1&=g_1^{-1}(y_1,y_2)=y_1 y_2 \\x_2&=g_2^{-1}(y_1,y_2)=y_2 \\J&=\det\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} \\\frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2}\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}y_2 & y_1 \\0 & 1\end{bmatrix}=y_2 \\f_{Y_1 Y_2}(y_1,y_2)&=f_{X_1 X_2}(g_1^{-1}(y_1,y_2),g_2^{-1}(y_1,y_2)) \left | J \right | \\&=\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{y_1^2 y_2^2+y_2^2}{2})\left | y_2 \right | \\&=\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{y_2^2(y_1^2+1)}{2})\left | y_2 \right | \\t&=\frac{y_2^2(y_1^2+1)}{2} \\\frac{dt}{dy_2}&=y_2(y_1^2+1) \\dy_2&=\frac{1}{y_2(y_1^2+1)}dt \\f_{Y_1}(y_1)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2)dy_2 \\&=2\int_{0}^{\infty}f_{Y_1 Y_2}(y_1, y_2)dy_2 \\&=2\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}y_2\exp(-\frac{y_2^2(y_1^2+1)}{2})dy_2 \\&=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty y_2\exp(-t)\frac{1}{y_2(y_1^2+1)}dt \\&=\frac{1}{\pi}\frac{1}{y_1^2+1}\int_0^\infty \exp(-t)dt \\&=\frac{1}{\pi(y_1^2+1)}\end{aligned}

F Distribution

•

Snedecor’s F Distribution이라고도 부르며, Fisher–Snedecor Distribution이라고도 부릅니다.

•

X1X_1X1​ 과 X2X_2X2​ 가 independent이고, X1∼χn2X_1 \sim \chi_n^2X1​∼χn2​ , X2∼χm2X_2 \sim \chi_m^2X2​∼χm2​ , Y=X1nX2mY=\frac{\frac{X_1}{n}}{\frac{X_2}{m}}Y=mX2​​nX1​​​ 일 때 Y∼F(n,m)Y \sim F(n,m)Y∼F(n,m) 입니다.

•

X∼F(n,m)X \sim F(n,m)X∼F(n,m)

•

fX(x)=(nm)n2xn2−1β(n2,m2)(nmx+1)n+m2f_X(x)=\frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}}{\beta(\frac{n}{2},\frac{m}{2})(\frac{n}{m}x+1)^{\frac{n+m}{2}}}fX​(x)=β(2n​,2m​)(mn​x+1)2n+m​(mn​)2n​x2n​−1​

•

X1X_1X1​ 과 X2X_2X2​ 가 independent이고, X1∼χn2X_1 \sim \chi_n^2X1​∼χn2​ , X2∼χm2X_2 \sim \chi_m^2X2​∼χm2​ , Y=X1nX2mY=\frac{\frac{X_1}{n}}{\frac{X_2}{m}}Y=mX2​​nX1​​​ 일 때 Y∼F(n,m)Y \sim F(n,m)Y∼F(n,m) 이 됨은 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned} f_{X_1}(x_1)&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}} x_1^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x_1}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})} \\f_{X_2}(x_2)&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} x_2^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x_2}{2}}}{\Gamma(\frac{m}{2})} \\f_{X_1 X_2}(x_1,x_2)&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} x_1^{\frac{n}{2}-1}x_2^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x_1+x_2}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} \\y_1=g_1(x_1,x_2)&=\frac{x_1}{x_2} \\y_2=g_2(x_1,x_2)&=x_1 \\x_1=g_1^{-1}(y_1,y_2)&=y_1 y_2 \\x_2=g_2^{-1}(y_1,y_2)&=y_2 \\J&=\det\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2} \\\frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2}\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}y_2 & y_1 \\0 & 1\end{bmatrix}=y_2 \\f_{Y_1 Y_2}(y_1,y_2)&=f_{X_1 X_2}(g_1^{-1}(y_1,y_2),g_2^{-1}(y_1,y_2)) \left | J \right | \\&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} y_1^{\frac{n}{2}-1}y_2^{\frac{n}{2}-1}y_2^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{y_1 y_2+y_2}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}\left | y_2 \right | \\&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} y_1^{\frac{n}{2}-1}y_2^{\frac{n+m}{2}-1}e^{-\frac{y_2(y_1+1)}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} \\f_{Y_1}(y_1)&=\int_0^\infty \frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} y_1^{\frac{n}{2}-1}y_2^{\frac{n+m}{2}-1}e^{-\frac{y_2(y_1+1)}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} dy_2 \\&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} y_1^{\frac{n}{2}-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}\int_0^\infty (\frac{2t}{y_1+1})^{\frac{n+m}{2}-1}e^{-t}\frac{2}{y_1+1}dt & \text{ } (t=\frac{y_2(y_1+1)}{2}) \\&=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n+m}{2}} y_1^{\frac{n}{2}-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}(\frac{2}{y_1+1})^{\frac{n+m}{2}}\int_0^\infty t^{\frac{n+m}{2}-1}e^{-t}dt \\&=\frac{y_1^{\frac{n}{2}-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})(y_1+1)^{\frac{n+m}{2}}}\Gamma(\frac{n+m}{2}) \\ \\y&=h(y_1)=\frac{m}{n}y_1 \\y_1&=h^{-1}(y)=\frac{n}{m}y \\f_Y(y)&=f_{Y_1}(h^{-1}(y))\left | \frac{dy_1}{dy} \right | \\&=f_{Y_1}(\frac{n}{m}y)\left | \frac{n}{m} \right | \\&=\frac{\frac{n}{m}\Gamma(\frac{n+m}{2})(\frac{n}{m}y)^{\frac{n}{2}-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})(\frac{n}{m}y+1)^{\frac{n+m}{2}}} \\&=\frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}y^{\frac{n}{2}-1}}{\beta(\frac{n}{2},\frac{m}{2})(\frac{n}{m}y+1)^{\frac{n+m}{2}}} \\ \\Y &\sim F(n,m) \end{aligned}

t Distribution

•

Student’s t Distribution이라고도 부릅니다. XiX_iXi​ 는 iid, Xi∼N(μ,σ2)X_i \sim N(\mu,\sigma^2)Xi​∼N(μ,σ2) , Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_iXˉ=n1​∑i=1n​Xi​ , s2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2s2=n−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2 일 때 Z=Xˉ−μσn∼N(0,1)Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}} \sim N(0,1)Z=n​σ​Xˉ−μ​∼N(0,1) , T=Xˉ−μsn∼tn−1T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt n}} \sim t_{n-1}T=n​s​Xˉ−μ​∼tn−1​ 입니다. n−1n-1n−1 은 degree of freedom이라고 부릅니다.

•

정확한 σ2\sigma^2σ2 를 구하는 것이 불가능한 경우에 s2s^2s2 로 근사를 하게 되는데, nnn 이 충분히 크다면 s2s^2s2 가 σ2\sigma^2σ2 와 거의 비슷하게 근사가 돼서 Normal Distribution을 사용할 수 있지만, nnn 이 충분히 크지 않다면 s2s^2s2 가 σ2\sigma^2σ2 와 차이가 크게 돼서 t Distribution을 사용해야 합니다.

•

X∼tnX \sim t_nX∼tn​

•

fX(x)=Γ(n+12)nπΓ(n2)(x2n+1)n+12f_X(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt {n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})(\frac{x^2}{n}+1)^{\frac{n+1}{2}}}fX​(x)=nπ​Γ(2n​)(nx2​+1)2n+1​Γ(2n+1​)​

•

XiX_iXi​ 는 iid, Xi∼N(μ,σ2)X_i \sim N(\mu,\sigma^2)Xi​∼N(μ,σ2) , Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_iXˉ=n1​∑i=1n​Xi​ , s2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2s2=n−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2 일 때 Z=Xˉ−μσn∼N(0,1)Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}} \sim N(0,1)Z=n​σ​Xˉ−μ​∼N(0,1) , T=Xˉ−μsn∼tn−1T=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt n}} \sim t_{n-1}T=n​s​Xˉ−μ​∼tn−1​ 임은 다음과 같이 증명합니다.

\begin{aligned}T^2&=\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\frac{s^2}{n}} \\&=\frac{(\bar{X}-\mu)^2\frac{n}{\sigma^2}}{\frac{s^2}{n}\frac{n}{\sigma^2}} \\&=\frac{\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\frac{\sigma^2}{n}}}{\frac{s^2}{\sigma^2}\frac{n-1}{n-1}} \\&=\frac{\frac{Z^2}{1}}{\frac{(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}}{n-1}}\end{aligned} \\Z^2 \sim \chi_1^2 \\(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2 \\T^2 \sim F(1,n-1) \\\begin{aligned}F_{T^2}(u)&=P(T^2 \lt u) \\&=P(-\sqrt u \lt T \lt \sqrt u) \\&=F_T(\sqrt u) - F_T(-\sqrt u)\end{aligned} \\\begin{aligned}f_{T^2}(u)&=\frac{1}{2\sqrt u}(f_T(\sqrt u)+f_T(-\sqrt u)) \\&=\frac{1}{\sqrt u}f_T(\sqrt u)\end{aligned} \\f_{T^2}(t^2)=\frac{1}{\left | t \right |}f_T(t) \hspace{2em} (u=t^2) \\\begin{aligned}f_T(t)&=\left | t \right |f_{T^2}(t^2) \\&=(t^2)^{\frac{1}{2}}\frac{(\frac{1}{n-1})^{\frac{1}{2}}(t^2)^{\frac{1}{2}-1}}{\beta(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2})(\frac{1}{n-1}t^2+1)^\frac{n}{2}} \\&=(t^2)^{\frac{1}{2}}\frac{\Gamma(\frac{n}{2})(\frac{1}{n-1})^{\frac{1}{2}}(t^2)^{\frac{1}{2}-1}}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{n-1}{2})(\frac{1}{n-1}t^2+1)^\frac{n}{2}} \\&=\frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\sqrt \pi \sqrt{n-1}\Gamma(\frac{n-1}{2})(\frac{t^2}{n-1}+1)^\frac{n}{2}}\end{aligned}

•

(n−1)s2σ2∼χn−12(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2(n−1)σ2s2​∼χn−12​ 의 증명은 Sample Mean and Sample Variance를 참조하시기 바랍니다.

작성자

오태호 (Taeho Oh)

Senior Machine Learning Engineer

안녕하세요, AI팀 오태호입니다. 